CADRAN DE HAUTEUR DE
REGIOMONTANUS
La
réalisation d'un nocturlabe – cadran de Regiomontanus est un nouveau projet
mené au lycée technique Edouard Branly de Créteil, avec des élèves de seconde.
Il faut maintenant passer de la maquette en carton, à l'objet en laiton…
Regiomontanus (Johann Müller 1436–1476) astronome de Königsberg (Franconie – Allemagne), est à l'origine de ce cadran universel de hauteur.
Regiomontanus en quelques dates :
1436 : naissance de Johann Müller ;
1450 : suit les cours de Peurbach à Vienne ;
1460 : rencontre du cardinal Bessarion, Venise, Rome, Padoue ;
1467 : installation à Nuremberg, création d’une imprimerie, d’un atelier d’instruments, d’un observatoire (1471) ;
1475 : appelé à Rome par le pape pour une réforme du calendrier ;
1476 : meurt de la peste à Rome.
Pour des images d'instruments ayant appartenu à Regiomontanus, suivre le lien suivant :
Pour une description du cadran de Regiomontanus du musée des Arts et Métiers suivre :
Introducteur de la trigonométrie en Europe, Regiomontanus parvient, sur ce cadran, à réaliser "à plat" la relation de trigonométrie sphérique qui relie les quatre paramètres intervenant ici dans la recherche de l'heure :
· h = angle de hauteur du Soleil au-dessus de l'horizon,
· H = angle horaire (H = 0° à midi solaire, augmente de 15° chaque heure),
· j = latitude du lieu,
· d = déclinaison du Soleil le jour de l'observation.
Le fichier Excel suivant permet d'expérimenter la relation trigonométrique ci-dessus, et de visualiser le trajet du Soleil au-dessus de l'horizon. On peut :
· soit le consulter en cliquant sur le lien avec le bouton gauche (retour avec le bouton retour de votre navigateur),
· soit le télécharger en cliquant avec le bouton droit, puis en choisissant Enregistrer la cible sous… (22,5 Ko).
La maquette et sa version en DAO
Les dimensions du cadran
Les dimensions du cadran sont limitées par le rayon de la matrice, qui est 7 cm. Ce sera le côté du "capuchon de capucin".
En comptant 0,5 cm pour la graduation supérieure du calendrier, cela donne OB = 6,5 cm (voir schéma).
Le point O est le centre de l'instrument.
Les dimensions du capuchon sont les suivantes :
L'angle AÔB vaut 23°27' (angle de l'écliptique).
OA = 6,5 cos 23°27' » 5,96 cm.
AB = OA tan
23°27' » 2,59 cm (c'est aussi le rayon du cercle pour les graduations
horaires).
Lignes horaires
On place sur l'axe vertical le point D tel que OD » 2,59 cm.
On trace le demi-cercle inférieur de centre D et de rayon DC » 2,59 cm.
Les lignes horaires verticales sont tracées en prenant un angle au centre D tous les 15°.
Echelles et lignes de déclinaison
Il y a deux échelles de déclinaison et les lignes de déclinaison ne sont à tracer que dans le capuchon.
L'échelle supérieure permet de régler le bras en déclinaison. Les droites sont menées par O en formant, avec la verticale (OA) un angle d égal à la déclinaison le premier jour du mois (tableau ci-dessous). La droite (OA) correspond aux équinoxes. La droite (OB) au solstice d'hiver. Conserver les lignes de déclinaison à l'intérieur du capuchon.
L'échelle située sur le côté droit permet de régler la position de la perle sur le fil. La droite (OC) correspond aux équinoxes. Les autres graduations sont obtenues en prenant un angle d égal à la déclinaison, en O avec la direction (OC). Les droites de constructions ne sont pas à tracer sur le cadran.
|
sol hiver |
1 JAN |
1 FEV |
1 MARS |
1 AVRIL |
1 MAI |
1 JUIN |
sol été |
|
–23°27' |
–23°03' |
–17°17' |
–7°51' |
+4°16' |
+14°52' |
+21°52' |
+23°27' |
|
|
1 DEC |
1 NOV |
1 OCT |
1 SEPT |
1 AOUT |
1 JUIL |
|
|
|
–21°41' |
–14°12' |
–2°55' |
+8°32' |
+18°32' |
+23°09' |
|
Lignes de latitude
Les lignes horizontales de
latitude terminent le quadrillage du capuchon. On obtient le point E sur l'axe vertical, permettant de les tracer,
en prenant un angle E
O égal à la latitude j . La droite (AB) correspond à la latitude 66°33' du cercle polaire. On ne pourra
donc pas utiliser le cadran au delà.
Utilisation du cadran solaire
· On règle le bras en latitude (du lieu d'observation) et déclinaison (date d'observation).
· On règle la perle en déclinaison sur le calendrier de droite.
· On présente les pinnules au Soleil, inclinant le cadran de sorte qu'elles soient dans l'alignement des rayons solaires.
· La perle tombe sur la graduation correspondant à l'heure solaire vraie.
Pourquoi ce cadran fonctionne-t-il ?
Regiomontanus ne justifie pas sa construction. L'astronome Delambre s'est posé la question, non seulement de la démonstration, mais aussi de savoir comment avait pu cheminer Regiomontanus.
Pour le savoir, suivre le lien suivant :
Quadrant de hauteur et quadrant géométrique
Le "centre" du quadrant de hauteur est placé sur la ligne horizontale de la latitude 45° , à 3,5 cm de l'axe vertical de l'instrument, côté gauche. C'est sur ce point qu'il faut placer l'extrémité du petit bras pour faire fonctionner le quadrant de hauteur.
La graduation 90° de hauteur est située dans le prolongement de la ligne de 45° de latitude (il y a un défaut sur la maquette). Le fil pend le long de cette graduation, lorsqu'on vise le zénith à travers les pinnules.
De même, la graduation 0° de hauteur est à la verticale du "centre" du quadrant. Le fil pend sur cette graduation lorsqu'on vise à l'horizontale.
Le quadrant de hauteur, comme le carré des ombres (quadrant géométrique), sont
"virtuels". Les deux échelles extérieures sont construites selon le
principe suivant :
Les graduations du quadrant de hauteur sont obtenues à partir d'angles au centre régulièrement espacés de 10°, plus l'angle de 45°.
Les graduations du quadrant géométrique s'appuient sur le partage du carré. Elles sont données en prenant des angles symétriques par rapport à la diagonale à 45°, selon les valeurs du tableau suivant.
|
Graduation géométrique |
Angle au centre |
|
2 |
tan– 1 (2/12) » 9.46° |
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4 |
18.43° |
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6 |
26.56° |
|
8 |
33.69° |
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10 |
39.81° |
|
12 |
tan– 1 (12/12) = 45° |
Références
· DELAMBRE – Histoire de l'astronomie du Moyen-Age – Paris 1819.
· HEBERT et VASSARD – Aspect instrumental de la trigonométrie dans l'Occident latin in Instruments scientifiques à travers l'histoire – Ellipses 2004.
· http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Regiomontanus.html