Comment peut-on représenter, au moyen d'un instrument, l'univers, en conciliant les deux modèles précédents, d'une part celui de la sphère céleste et d'autre part celui de la sphère céleste locale, au besoin régulièrement quadrillée d'almucantarats et de cercles d'égal azimut ? (figure ci-contre)
La première idée, la plus naturelle, consiste à représenter chacune de ces deux sphères par des sphères plus petites : on obtient l'astrolabe sphérique ou la sphère armillaire.
Une sphère armillaire du Museum of History of Science à Oxford | un astrolabe sphérique du musée du Museum of History of Science à Oxford |
L'encombrement se révèle être le principal inconvénient de tels objets. Par ailleurs, les deux sphères doivent pouvoir se déplacer l'une par rapport à l'autre, car, à cause du mouvement journalier de rotation de la sphère des fixes, les positions relatives des sphères célestes et célestes locales ne sont jamais les mêmes. De plus, l'une ne doit pas masquer l'autre : la sphère extérieure est en général une simple structure d'anneaux (d'ailleurs armilla veut dire anneau en latin). Bref, toutes ces conditions rendent extrêmement fragile un tel objet, et en tout cas peu adapté à des manipulations fréquentes.
La seconde idée est de passer à une représentation plane et l'on obtient alors l'astrolabe astronomique. On y gagne sur la facilité de transport et la solidité. Mais apparaissent des difficultés mathématiques ardues. Le problème à résoudre est finalement un problème de cartographie : comment peut-on représenter une sphère par un plan ? On sait aujourd’hui qu’une sphère n’est pas une surface développable : autrement dit, il est impossible de la reporter sur un plan sans la déchirer ou l’altérer. Mais en acceptant de perdre des propriétés (c’est le prix à payer), on peut contourner cette difficulté par des méthodes dont certaines sont déjà connues à l'époque de Ptolémée (lui-même grand cartographe) : par exemple, en utilisant la projection stéréographique, étudiée depuis Hipparque.
La projection stéréographique présente deux avantages, essentiels pour ce qui nous préoccupe. Tout d’abord, elle conserve les angles : nous avons vu que les astronomes utilisaient des angles pour repérer les objets célestes. Enfin elle agit simplement, en ce sens qu’elle transforme (la plupart du temps) un cercle en un cercle.